Aufgabe 1 (aus einer meiner Uniprüfungen)

Zeigen Sie, daß im allgemeinen Dreieck für den Umkreisradius $R$ die Formel $R = \frac{a \cdot b}{2 h_{c}}$ oder (bruchfrei) $2 h_{c} \cdot R = a \cdot b$ gilt.

LöVo: Die Algebraisierung kann folgendermaßen funktionieren:

Das allgemeine Dreieck kann so ein Koordinatensystem gedreht werden, dass $A (r; 0)$ , $B (0; 0)$ und $C (s; t)$ gilt. Jetzt muss man nur noch die einzelnen Komponenten berechnen und die Gleichheit verifizieren:

Es gilt $a = \sqrt{s^{2} + t^{2}}$ , $b = \sqrt{{(r - s)}^{2} + t^{2}}$ , $c = r$ und $h_{c} = t$ . Den Umkreisradius rechnen wir über die Konstruktion über die Mittelsenkrechten $m_{a}$ und $m_{c}$ . Steigung der Geraden $B C = \frac{t}{s}$ ; $m_{a} : y = \frac{- s}{t} (x - \frac{s}{2}) + \frac{t}{2}$ . Weil der $x -$ Wert des Umkreismittelpunktes $U_{x}$ = $\frac{r}{2}$ ist, gilt $U (\frac{r}{2}; \frac{- s}{t} (\frac{r}{2} - \frac{s}{2}) + \frac{t}{2})$ .

Damit ist $R = \sqrt{{(\frac{r}{2})}^{2} + {(\frac{- s}{t} (\frac{r}{2} - \frac{s}{2}) + \frac{t}{2})}^{2}}$ und

$2 \cdot h_{c} \cdot R = 2 \cdot t \cdot \sqrt{\frac{r^{2}}{4} + {(\frac{- s r}{2 t} + \frac{s^{2}}{2 t} + \frac{t}{2})}^{2}} = \sqrt{r^{2} t^{2} + {(- s r + s^{2} + t^{2})}^{2}}$

$= \sqrt{r^{2} t^{2} + s^{4} + s^{2} r^{2} - 2 r s^{3} - 2 r s t^{2} + 2 s^{2} t^{2} + t^{4}}$ .

$a \cdot b = \sqrt{(s^{2} + t^{2})} \cdot \sqrt{({(r - s)}^{2} + t^{2})} = \sqrt{(s^{2} + t^{2}) \cdot (r^{2} - 2 r s + s^{2} + t^{2})}$

$= \sqrt{r^{2} s^{2} - 2 r s^{3} + s^{4} + s^{2} t^{2} + r^{2} t^{2} - 2 r s t^{2} + s^{2} t^{2} + t^{4}} = 2 \cdot h_{c} \cdot R$ (qed).

Zugegeben, die Lösung ist nicht elegant, aber sicher zielführend.